Առաջադրանքներ

258.

Պատ՝․ AB=CD
<A=<D=120^o/2=60^o

259.

Պատ՝․<A+<B=180^o
180^o/6=30^o

260.

Պատ՝․ <B=5x=BO*5=150^o

Սեղան․ուղղանկյուն․կրկնողություն

Առաջադրանքներ

258.

Պատ՝․ AB=CD
<A=<D=120^o/2=60^o

259.

Պատ՝․<A+<B=180^o
180^o/6=30^o

260.

Պատ՝․ <B=5x=BO*5=150^o

սեղան ,կրկնողություն

243.

Պատ՝․ Սեղան է։

244.

Պատ՝․ <A+<B=180^o

245.

Պատ՝․ Հիմքերը իրար զուգահեռ են։

246.

Պատ՝․ Հիմքերը զուգահեռ են հետևաբար առաջանում են խաչադիր անկյուններ, որոնք իրար հավասար են։

247.

Պատ՝․ սեղանը հասավարասրունք է։

248.

258.

Պատ՝․ AB=CD
CM=CD

Սեղան,կրկնողություն

243.

Պատ՝․ Սեղան է։

244.

Պատ՝․ <A+<B=180^o

245.

Պատ՝․ Հիմքերը իրար զուգահեռ են։

246.

Պատ՝․ Հիմքերը զուգահեռ են հետևաբար առաջանում են խաչադիր անկյուններ, որոնք իրար հավասար են։

247.

Պատ՝․ սեղանը հասավարասրունք է։

248.

258.

Պատ՝․ AB=CD
CM=CD

Առաջադրանքներ դասարանում

1. Գտեք  ABC եռանկյան C անկյունը, եթե՝ <A=24º, <B=121º:
   • 180º — (24º + 121º) = 35º
   • Պատ․՝ 35º
2. Հավասարասրուն եռանկյան գագաթի անկյունը հավասար է 40º: Գտեք մյուս երկու անկյունները:
   • (180º — 40º) : 2 = 70º
   • Պատ․՝ 70º
3. Գտեք հավասարասրուն եռանկյան անկյունները, եթե նրա անկյուններից մեկը հավասար է 100º:
   • (180º — 100º) : 2 = 40º
   • Պատ․՝ 40º

Տանը

4. AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: Գտեք <ADC-ն, եթե <C=50º:
   • 180 — 50 — 90 = 40
   • Պատ․՝ 40º
5. Գտեք հավասարասրուն եռանկյան անկյունները, եթե հիմքին առընթեր անկյունը երեք անգամ փոքր է իրեն կից արտաքին անկյունից:
   • 180 : 4 = 45
   • 180 — (45 · 45) = 90
   • Պատ․՝ 90º, 45º, 45º

Լրացուցիչ առաջադրանքներ

6. Գտեք ABC եռանկյան C անկյու նը, եթե՝
   • ա) ∠A = 65º , ∠B = 57º
     • 58º
   • բ) ∠A = 24º, ∠B = 130º
     • 26º
   • գ) ∠A = α, ∠B = 2α
     • 180º — (2α + α)
   • դ) ∠A = 60º + α, ∠B = 60º – α:
     • 180º — (60º + α + (60º — α))
7. Գտեք ABC եռանկյան անկյունները, եթե ∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3:
   • 180 : (1 + 2 + 3) = 30
   • 30 · 2 = 60
   • 30 · 3 = 90

Դիցուք տրված են x և y երկու անհայտներով առաջին աստիճանի գծային հավասարումներ՝ a1x+b1y+c1=0 և a2x+b2y+c2=0: Ասում են, որ տրված է  x և y երկու անհայտներով հավասարումների համակարգ, եթե պահանջվում է գտնել բոլոր այն (x;y) թվազույգերը, որոնք միաժամանակ բավարարում են և՛առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին: Համակարգի հավասարումները գրում են իրար տակ և միացնում են հատուկ նշանի՝ ձևավոր փակագծերի միջոցով. 

{a₁x+b₁y+c₁=0,

a₂x+b₂y+c₂=0

(x;y) թվազույգը, որը հանդիսանում է միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումների լուծում, կոչվում է համակարգի լուծում: Լուծել համակարգը նշանակում է գտնել նրա բոլոր լուծումները կամ ապացուցել, որ լուծումներ չկան:

Օրինակ

Հոր և որդու տարիքների տարբերությունը 25 է, իսկ գումարը՝ 35: Գտնել հոր և որդու տարիքները:

 Լուծում: Պետք է գտնել երկու անհայտ մեծություններ՝ հոր և որդու տարիքները: Նշանակենք դրանք համապատասխանաբար x և y տառերով: Խնդրի պայմանները կարելի է արտագրել հետևյալ երկու հավասարումների միջոցով՝ x−y=25 և x+y=35 Որոնելի x և y թվերը պետք է բավարարեն միաժամանակ և՛ առաջին, և՛ երկրորդ հավասարումներին: Հետևաբար, ըստ վերևի սահմանման, ստանում ենք հավասարումների համակարգ՝ {x−y=25,x+y=35 Այս համակարգի համար գտնում ենք x=30 և y=5 թվերը, որոնք բավարարում են համակարգի երկու հավասարումներին: Հետևաբար հայրը 30 տարեկան է, իսկ որդին՝ 5:

Առաջադրանքեր՝

1․Հանդիսանում է արդյո՞ք (−9;3) թվազույգը տրված համակարգի լուծում: 

{2x+11y=15

3x+5y=-12 

2․Որոշիր x+y=15 հավասարմանը բավարարող բնական թվերի զույգ: 

1. (11;4)
2. (3;5)
3. (−9;−6)
4. (−6;21)
5. (0;15)
6. (17;−2)

3․Որոշիր այն հավասարումը, որին բավարարում է (2;1) թվազույգը: 

1. 6x−2y=4
2. 4x−3y=7
3. 7x+3y=10
4. 6x+8y=1
5. 15x−12y=3
6. 10x−11y=9

4․Այս խնդրի տվյալներն օգտագործելով՝ կազմիր համակարգ: Գրասեղանին կա 4 անգամ քիչ ռետին, քան մատիտ: Ընդամենը կա 15 ռետին և մատիտ: Մատիտների թիվը նշանակենք y-ով, իսկ ռետիններինը՝ x-ով: 

5․Այս խնդրի տվյալներն օգտագործելով՝ կազմիր համակարգ: Գնվել է 3  կիլոգրամով ավելի շատ խնձոր, քան տանձ: Ընդամենը գնվել է 12 կիլոգրամ խնձոր և տանձ: Խնձորների կշիռը նշանակենք y-ով, իսկ տանձերինը՝ x-ով: Համակարգի մի հավասարումը կլինի՝ x+y=12 ։

6․Տրված է հավասարումների հետևյալ համակարգը՝ 

{x+ay=-16,

bx+2y=-6 

Հայտնի է, որ (5;7) թվազույգը նրա լուծումն է: Որոշիր a և b գործակիցները:

7․Որոշիր երկու թիվ, որոնց գումարը հավասար լինի 34-ի, իսկ տարբերությունը՝ 18-ի:

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱԿԱՐԳԵՐ

Առաջադրանքներ (դասարանում)

1) Պարզեք՝ (-3; 1) թվազույգը համակարգի լուծո՞ւմ է.

2) Բերեք երկու անհայտով երկու առաջին աստիճանի հավասարումների համակարգերի օրինակներ, որոնցում անհայտների գործակիցները

ա) համեմատական են,

բ) համեմատական չեն:

3) Համակարգի հավասարումներում անվանեք գործակիցները և ազատ անդամները.

4) Ցույց տվեք, որ (1;2) թվազույգը համակարգի լուծում է.

5) Ցույց տվեք, որ (-2;1) թվազույգը համակարգի լուծում չէ.

ՔԱՌԱՆԿՅՈՒՆ

4) Գտեք ուռուցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանցից մեկը մյուսից մեծ է համապատասխանաբար 10⁰-ով, 20⁰-ով և 30⁰-ով

x+x-10+x-20+x-30=360
4x=360+10+20+30
4x=420
x=420/4
x=105°<A
<B=105°-10°=95°
<C=105°-20°=85°
<D=105°-30°=75°

5) Գրեք ուռոցիկ քառանկյան անկյունները, եթե դրանք համեմատական են 1, 2, 4, 5 թվերին:

<A+<B+<C+<D=360°
x+2x+4x+5x=360°
12x=360
x=360/12=30°<A
<B=60°, <C=120°, <D=150°

6) Գտեք քառանկյան կողմերը, եթե նրա պարագիծը 66սմ է, առաջին կողմը երկրորդից մեծ է 8 սմ-ով և նույնքանով փոքր է երրորդ կողմից, իսկ չորրորդը երեք անգամ մեծ է երկրորդից:

p=66սմ
AB+BC+CD+AD=66սմ
x+8+x+3x+x+8+8=66սմ
6x=66-8-8-8
6x=42
x=42/6=7սմ=BC
AB=15սմ
DC=21սմ
AD=23սմ

7) Ապացուցեք, որ քառանկյան անկյունների գումարը հավասար է 360⁰:
180•(4-2)=360°

Սուրանկյուն, ուղղանկյուն և բութանկյուն եռանկյուններ

Առաջադրանքներ(դասարանում)

1) ABC եռանկյան A և B անկյունների կիսորդները հատվում են M կետում: Գտեք <AMB-ն, եթե <A=58⁰, <B=96⁰:
Լուծում՝․<A=58
AM-կիսորդ
<BAM=<MAB=58^o:2=29^o
<B=96^o
BM=<ABM=<MBC=<B:2=96^o:2=48^o
<AMB=180^o-(29^o+48^o)=103^o.

2) Հավասարասրուն եռանկյան արտաքին անկյուններից մեկը 115⁰ է: Գտեք եռանկյան անկյունները:
Լուծում՝․ 1տարբերակ․․․<C=180^o<BCD=180^o-115^o=65^o
<A=<C=65^o=<B=115^o-65^o=50^o
Պատ՝․ 65^o,50^o,65^o.

Առաջադրանքներ(տանը)

3) AC հիմքով ABC հավասարասրուն եռանկյան մեջ տարված է AD կիսորդը: Գտեք այդ եռանկյան անկյունները, եթե <ADB=110⁰:
Լուծում՝․ AB=BC;<A=<C
<A=<C=2x
110^o=x+2x
3x=110^o
x=110^o/3=36 2/3=36^o40′
<A=<C=2c=2*36^o40’=73^o20′
<B=180^o-2<a=179^o60′-146^o40’=33^o20′

4) BC եռանկյան C անկյունը 15⁰ է: AC կողմի վրա նշված է D կետն այնպես, որ <ABD=12⁰, <ADB=80⁰: Ապացուցեք, որ ABC-ն ուղղանկյուն եռանկյուն չէ

Կրճատ բազմապատկման բանաձևերի կիրառությունը

Առաջադրանքներ (դասարանում)

1)  Պարզեցրեք արտահայտությունը.

ա) (а+1)²-2(а+1)+1= а ²

բ) (мн)²+2n(мн)+n²= м ²

գ) (pq)²-2(p²-q²)+(p+q)²= 4q ²

դ) (x+2y)²+2(x²-4y²)+(2y-x)²= 4x ²

Առաջադրանքներ (տանը)

2)  Արտահայտությունը ձևափոխեք բազմանդամի 

ա) (1+x)(1-x)(1+x²)= 1-x ⁴

բ) (n+m)(nm)(m²+n²)= n ⁴ +m ⁴

գ) 4(1-а)²+3(а+1)²= 7а ² -2а+7

դ) 2(1-5x)²-2(5x+1)(1-5x)= -20x+100x ²

3)  Երեք դասարաններում կա 116 աշակերտ: Առաջին դասարանում 4 աշակերտ ավելի կա, քան երկրորդում եւ 3 աշակերտ պակաս, քան երրորդում: Քանի աշակերտ կա երրորդ դասարանում:
Լուծում ,.
1) 116 + 4-3 = 117
2) 117: 3 = 39
3) 39 + 4 = 43 (ռռաջին դասասենյակ)
4) 39-3 = 36 (րկրորդ դասասենյակ)
5) 116-43-36 = 37 (երրորդ դասասենյակ )

Լրացուցիչ  առաջադրանքներ

4)  զբզբսաշրջիկը 3 ժ գնացել է տքտքտքվ եւ 4 ժ, հեծանվվվ: նա ընդամենը անցել է 55 կմկմ: նա տքտքտքվ ինչ արագգւթյամբ էր գնւմւմ, եթե հեծանվվվ գնւմւմ էր 5 կմ / ժ-վվ անւմւմ, քան տքտքտքվ:

5) Նախագիծ` Պի թիվ